может ли больничный доказать степень вреда здоровью при подаче заявления в суд

В принципе, может, потому что одним из признаков квалификации вреда здоровью является длительность лечения. Но определяют степень вреда здоровью врачи, а не юристы. Мне кажется, одного больничного будет недостаточно.