Могу ли я попоросить начальство сделать запись в т/кн., если я работаю у них по т/договору? и идет ли мне стаж по т/договору?

Работа по трудовому договору в обязательном порядке сопровождается соответствующей записью в трудовой книжке и входит в трудовой стаж. А вот работа по гражданско-правовому договору, не подпадает под определение трудовых отношений. Думаю, Вам надо уточнить у работодателя, на каких именно условиях Вы определились выстраивать отношения.

Желаю удачи!