уточненный иск или ходатайство

Ответ содержится в статье 39 Гражданского процессуального кодекса РФ.
Статья 39. Изменение иска, отказ от иска, признание иска, мировое соглашение

1. Истец вправе изменить основание или предмет иска, увеличить или уменьшить размер исковых требований либо отказаться от иска, ответчик вправе признать иск, стороны могут окончить дело мировым соглашением.
2. Суд не принимает отказ истца от иска, признание иска ответчиком и не утверждает мировое соглашение сторон, если это противоречит закону или нарушает права и законные интересы других лиц.
3. При изменении основания или предмета иска, увеличении размера исковых требований течение срока рассмотрения дела, предусмотренного настоящим Кодексом, начинается со дня совершения соответствующего процессуального действия.

Вы вправе подать уточненный иск, после чего рассмотрение дела начнется по-новому. Из вопроса следует предположить, что суд пока не приступил к рассмотрению дела по существу. Поэтому большого влияния уточнение иска на срок рассмотрения не окажет.